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数学


【001】 A(2,0), B(4,-1)を結ぶ線分AB(両端を除く)と
       直線 m2x + 2y - m - 1 = 0
とが共有点を持つのは、mがどんな値のときか。


【解】
m2x + 2y - m - 1 = f (x, y) とおく。
線分ABと直線 f (x, y) = 0 ・・・ @ とが共有点を持つとは、
    ( i ) 2点A,Bが@の反対側
or ( ii ) 線分ABが直線@上にのる
ことである。
そして、
( i ) ⇔ f (A)・f (B) < 0
      ⇔ f (2, 0)・f (4, -1) < 0
      ⇔ (2m2-m-1)(4m2-m-3) < 0
      ⇔ (m-1)2(2m+1)(4m+3) < 0
      すなわち、-3/4<m<-1/2 ・・・ (ア)
( ii ) ⇔ f (A) = f (B) = 0
      ⇔ 2m2-m-1 = 0 かつ 4m2-m-3 = 0
      ⇔ m = 1 ・・・ (イ)
よって、求める条件は(ア)or(イ)、つまり
  -3/4<m<-1/2  or  m = 1             (答)



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